Question

（2008•杨浦区二模）（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C₂的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C₁、C₂关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C₁的方程为

x2

9

-

y2

4

=1，伸缩比λ=2，求C₁关于原点“伸缩变换”后所得曲线C₂的方程；
（2）射线l的方程y=

2

2

x(x≥0)，如果椭圆C₁：

x2

16

+

y2

4

=1经“伸缩变换”后得到椭圆C₂，若射线l与椭圆C₁、C₂分别交于两点A、B，且|AB|=

2

，求椭圆C₂的方程；
（3）对抛物线C₁：y²=2p₁x，作变换（x，y）→（λ₁x，λ₁y），得抛物线C₂：y²=2p₂x；对C₂作变换（x，y）→（λ₂x，λ₂y）得抛物线C₃：y²=2p₃x，如此进行下去，对抛物线C_n：y²=2p_nx作变换（x，y）→（λ_nx，λ_ny），得抛物线C_n+1：y²=2p_n+1x，…．若p1=1 ， λn=(

1

2

)n，求数列{p_n}的通项公式p_n．

Answer 1

分析：（1）由“伸缩变换”的伸缩比得

(2x)2

9

-

(2y)2

4

=1，从而即得曲线C₂的方程；
（2）根据C₂、C₁关于原点“伸缩变换”，对C₁作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C₂

λ2x2

16

+

λ2y2

4

=1分别解方程组得点A，B两点的坐标，最后利用两点的距离公式得到关于λ的方程求出λ的值，即可写出椭圆C₂的方程；
（3）先对C_n：y²=2p_nx作变换（x，y）→（λ_nx，λ_ny）得抛物线C_n+1：（λ_ny）²=2p_nλ_nx，结合y²=2p_n+1x得到：

pn+1

pn

=

1

λn

=2n，从而求得数列{p_n}的通项公式p_n．

解答：解（1）由条件得

(2x)2

9

-

(2y)2

4

=1，得C₂：

x2

9 4

-y2=1；（4分）
（2）∵C₂、C₁关于原点“伸缩变换”，对C₁作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C₂

λ2x2

16

+

λ2y2

4

=1，（5分）
解方程组

y= 2 2 x (x≥0) x2 16 + y2 4 =1

得点A的坐标为(

4 3

3

，

2 6

3

)；（7分）
解方程组

y= 2 2 x (x≥0) λ2x2 16 + λ2y2 4 =1

得点B的坐标为(

4 3

3λ

，

2 6

3λ

)；（8分）
|AB|=

( 4 3 3λ - 4 3 3 )2+( 2 6 3λ - 2 6 3 )2

=

2 2 |λ-1|

|λ|

=

2

，化简后得3λ²-8λ+4=0，解得λ1=2，λ2=

2

3

，因此椭圆C₂的方程为

x2

4

+y2=1或

x2

36

+

y2

9

=1．（12分）（漏写一个方程扣2分）
（3）（理）对C_n：y²=2p_nx作变换（x，y）→（λ_nx，λ_ny）得抛物线C_n+1：（λ_ny）²=2p_nλ_nx，得y2=

2pn

λn

x，
又∵y²=2p_n+1x，∴pn+1=

pn

λn

，即

pn+1

pn

=

1

λn

=2n，（14分）

p2

p1

•

p3

p2

•

p4

p3

•…•

pn-1

pn-2

•

pn

pn-1

=2•2²•2³•…•2^n-1，则

pn

p1

=21+2+3+…+(n-1)=2

1

2

n(n-1)，（16分）
（或解：pn+1=2npn，pn=2n-1pn-1=…=2(n-1)+(n-2)+…+2+1p1=2

1

2

n(n-1)p1）p₁=1，
∴pn=2

1

2

n(n-1)．（18分）

点评：本小题主要考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线简单性质、数列与解析几何的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．