Question

3．D是△ABC所在平面内一点，$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ，μ∈R），则λ+μ=1是点D在线段BC上的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分且必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据向量共线的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：若$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ，μ∈R），
若λ+μ=1，则λ=1-μ，
即$\overrightarrow{AD}$=（1-μ）$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+μ（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
即$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=μ$\overrightarrow{BC}$，
即$\overrightarrow{BD}$=μ$\overrightarrow{BC}$，即B，C，D三点共线，若μ＞0，则D在线段BC上，
否则，D在线段BC外，即充分性不成立，
若D在线段BC上的，则B，C，D三点共线，
设存在μ使得$\overrightarrow{BD}$=μ$\overrightarrow{BC}$，
即$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=μ$\overrightarrow{BC}$，
即$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+μ（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=（1-μ）$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，
令λ=1-μ，则λ+μ=1，
即λ+μ=1是点D在线段BC上的必要不充分条件，
故选：B．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量共线的等价条件是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．