Question

【题目】已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋ (a∈R)．

(1)当a＝1时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)讨论函数f(x)的极值；

(3)求证：ln(n＋1)> (n∈N*)．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）求导计算得切线斜率，进而由点斜式求切线即可；

（2）由，令，得x＝－a－1，讨论－a－1和定义域的关系求极值即可；

（3）当a＝－1时，由(2)知，，令x＝ (n∈N*)，，从而得证.

(1)解　当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋，

所以＋＝，

所以，

又f(0)＝0，

所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.

(2)解　＋

＝ (x>－1)．

令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1.

若－a－1≤－1，即a≥0，

则>0恒成立，此时f(x)无极值．

若－a－1>－1，即a<0，

当－1<x<－a－1时，f′(x)<0，

当x>－a－1时，f′(x)>0，

此时f(x)在x＝－a－1处取得极小值，

极小值为ln(－a)＋a＋1.

(3)证明　当a＝－1时，由(2)知，f(x)min＝f(0)＝0，

所以ln(x＋1)－≥0，即ln(x＋1)≥.

令x＝ (n∈N*)，

则ln≥＝，

所以ln≥.

又因为－＝>0，

所以>，

所以ln>，

所以ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，

即ln(n＋1)>＋＋＋…＋.