Question

（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.

 

（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；

（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

Answer 1

（1）48岁；（2）分布列详见解析，.

【解析】

试题分析：本题主要考查平均值、频率分布直方图、二项分布、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，用该区间中点值来代替每一组数据的平均值，再乘以每一组数据的频率，得到600人的平均年龄；第二问，先由频率分布直方图确定“老年人”所占的频率为，再利用二项分布的概率计算公式，计算出每一种情况的概率，列出分布列，最后利用计算数学期望.

试题解析：（1）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为

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（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为.

∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为.

依题意，X的可能取值为0,1,2,3.

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；

；

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∴随机变量X的分布列如下表：

∴随机变量X的数学期望

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考点：1.平均值；2.频率分布直方图；3.二项分布；4.随机变量的分布列和数学期望.