Question

函数y=

1

2

sin2x+sin2x，x∈R的值域是

 

．

Answer 1

分析：利用二倍角公式的变形，以及两角和差的三角公式，把函数解析式化为关于某个角的正弦和一个常数的代数和形式，再利用正弦函数的值域求出此函数的值域．

解答：解：∵函数y=

1

2

sin2x+sin2x=

1

2

 sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

+

2

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）
=

1

2

+

2

2

sin（2x-

π

4

），∵-1≤sin（2x-

π

4

）≤1，∴-

2

2

≤

2

2

sin（2x-

π

4

）≤

2

2

，
∴

1

2

-

2

2

≤y≤

1

2

+

2

2

，
故函数的值域为  [-

2

2

+

1

2

，

2

2

+

1

2

]，
故答案为 [-

2

2

+

1

2

，

2

2

+

1

2

]．

点评：本题考查两角和差的三角公式、二倍角公式的变形的应用，以及正弦函数的值域．