题目内容
知ab≠0,求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明：先证必要性.?
∵a+b=1,即b=1-a，?
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
再证充分性.?
∵a3+b3+ab-a2-b2=0,即?
（a+b）(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0.?
∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.?
由ab≠0,即a≠0且b≠0.?
∴a2-ab+b2≠0,只有a+b=1.?
综上可知，当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
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