题目内容
已知ab≠0,求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
思路分析：本题的大前提是ab≠0，条件是a3+b3+ab-a2-b2=0，结论是a+b=1.
欲证充要条件，即要证明条件是充分的而且是必要的.
证明：先证必要性成立：
∵a+b=1，即b=1-a，
∴a3+b3+ab-a2-b2
=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
∴必要性成立.
再证充分性成立：
∵a3+b3+ab-a2-b2=0，
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，
∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
又ab≠0,∴a≠0,b≠0,
从而a2-ab+b2≠0.
∴a+b-1=0，即a+b=1.
故充分性成立.
综上所述，原命题成立.
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