题目内容
已知ab≠0,求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明:先证必要性.
∵a+b=1,即b=1-a,
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
∴必要性成立.再证充分性.
∵a3+b3+ab-a2-b2=0,
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0.
∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
又∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,从而a2-ab+b2≠0.
∴a+b-1=0.即充分性成立.
点评:证明充要条件时,要分清充分性是证明怎样的一个式子成立,必要性又是证明怎样的一个式子成立.
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