题目内容
已知ab≠0,求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明：必要性：∵a+b=1,即b=1-a,
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.?
充分性：∵a3+b3+ab-a2-b2=0,
即（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0,?
∴（a2-ab+b2）（a+b-1）=0.?
由ab≠0,即a≠0且b≠0,?
∴a2-ab+b2=（a-
）2+
≠0,只有a+b=1.
综上可知，当ab≠0时，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
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