Question

【题目】如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点和的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程．

（2）已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，使得以为直径的圆过点．

【解析】

试题分析：（1）由两点的坐标可得直线方程,根据点到线的距离公式可得间的关系式,再结合离心率及可解得的值．（2）将直线方程与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程．根据有2个交点可知其判别式大于0得的范围．由上式可得两根之和,两根之积．以为直径的圆过点时,根据直线垂直斜率相乘等于可得的值．若满足前边判别式大于0得的的范围说明存在,否则说明不存在．

试题解析：解：解析：（1）直线方程为：．

依题意 解得

∴ 椭圆方程为．

（2）假若存在这样的值，由得．

∴ ①

设，、，，则 ②

而．

要使以为直径的圆过点，当且仅当时，则，即

∴ ③

将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．

综上可知，存在，使得以为直径的圆过点．