Question

5．已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意点，则（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值为（　　）

• A． -$\frac{9}{2}$
• B． $\frac{9}{2}$
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 通过设|PC|=3-x，则|PD|=x，利用数量积定义可知（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=-2x（3-x），通过配方进而即得结论．

解答 解：依题意，|CD|=3，$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∵P为线段CD上任意一点，
∴可设|PC|=3-x（0≤x≤3），则|PD|=x，$\overrightarrow{PD}$与$\overrightarrow{PC}$的夹角为π，
∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PC}$
=2|PD|•|PC|cosπ
=-2x（3-x）
=2$（x-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{9}{2}$
≥-$\frac{9}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积的定义及计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．