Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）经过点 ，离心率为 ，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上一动点，点A（3，0）与点P的垂直平分线交y轴于点B，求|OB|的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）离心率为 ，∴ ，故 ，
椭圆C为 ，
把点 代入得a2=6，b2=2，
所以椭圆C的方程为 =1．
（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x0 ， y0）（y0≠0），
则线段AP的中点D的坐标为 ，且直线AP的斜率kAP= ，…（7分）
由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，
故直线l的斜率为﹣ = ，且过点D，
所以直线l的方程为： = ，
令x=0，得y= ，则B ，
由 =1，得 =6﹣3 ，化简，得B ．
所以|OB|= =|y0|+ ≥2 = ．
当且仅当|y0|= ，即y0= ∈ 时等号成立．
所以|OB|的最小值为 ．
【解析】（Ⅰ）离心率为 ，可得 ，故 ，椭圆C为 ，把点 代入椭圆方程，解出即可得出．（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x0 ， y0）（y0≠0），利用中点坐标公式可得：线段AP的中点D坐标，由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，可得直线l的斜率为﹣ = ，利用直线l的方程可得B，又 =1，得 =6﹣3 ，可得|OB|，利用基本不等式的性质即可得出．