Question

【题目】已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y= +m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，过点（0，1），则b=1，
由椭圆的离心率e= = = ，则a=2，
∴椭圆的标准方程为： ；
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），线段中点M（x0 ， y0），
则 ，整理得：x2+2mx+2m2﹣2=0，
由△=（2m）2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，解得：﹣ ＜m＜ ，
则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则M（﹣m， m），
丨AC丨= = =
由l与x轴的交点N（﹣2m，0），
则丨MN丨= = ，
∴丨BN丨2=丨BM丨2+丨MN丨2= 丨AC丨2+丨MN丨2= ，
∴B，N两点间距离是否为定值
【解析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e= = = ，即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC丨及丨MN丨，丨BN丨2= 丨AC丨2+丨MN丨2= ，即可求得B，N两点间距离是否为定值．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．