Question

函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）在同一个周期内，当x=

π

4

时y取最大值1，当x=

7π

12

时，y取最小值-1．
（1）求函数的解析式y=f（x）．
（2）求该f（x）的对称轴，并求在[0，π]的单调递增区间．
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析：（1）通过同一个周期内，当 x=

π

4

时y取最大值1，当 x=

7π

12

时，y取最小值-1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．
（2）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间，再由已知中自变量的取值范围，进而得到答案．
（3）确定函数在[0，2π]内的周期的个数，利用f（x）=a（0＜a＜1）与函数的对称轴的关系，求出所有实数根之和．

解答：解：（1）因为函数在同一个周期内，当x=

π

4

时y取最大值1，当x=

7π

12

时，y取最小值-1，
所以T=

2π

ω

=2×(

7π

12

-

π

4

)，
所以ω=3．
因为 sin(

3

4

π+φ)=1，
所以 

3π

4

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
又因为 |φ|＜

π

2

，
所以可得 φ=-

π

4

，
∴函数 f(x)=sin(3x-

π

4

)．
（2）令3x-

π

4

= kπ+

π

2

，所以x=

kπ

3

+

π

4

，
所以f（x）的对称轴为x=

kπ

3

+

π

4

（k∈Z）；
令-

π

2

+2kπ≤3x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：-

π

12

+

2kπ

3

≤x≤

π

4

+

2kπ

3

，k∈Z
又因为x∈[0，π]，
所以令k分别等于0，1，可得x∈[0，

π

4

]，[

7π

12

，

11π

12

]，
所以函数在[0，π]上的单调递增区间为[0，

π

4

]，[

7π

12

，

11π

12

]．
（3）∵f(x)=sin(3x-

π

4

)的周期为

2

3

π，
∴y=sin(3x-

π

4

)在[0，2π]内恰有3个周期，
∴sin(3x-

π

4

)=a(0＜a＜1)在[0，2π]内有6个实根且 x1+x2=

π

2

同理，x3+x4=

11

6

π，x5+x6=

19

6

π，
故所有实数之和为

π

2

+

11π

6

+

19π

6

=

11π

2

．

点评：本题主要考查求三角函数的解析式与三角函数的有关基本性质，如函数的对称性，单调性，掌握基本函数的基本性质，是学好数学的关键．