Question

【题目】已知函数的定义域为，同时满足：对任意，总有，对定义域内的，若满足，恒有成立，则函数称为“函数”.

（1）判断函数在区间上是否为“函数”，并说明理由；

（2）当为“函数”时，求的最大值和最小值；

（3）已知为“函数”：

①证明：；

②证明：对一切，都有

Answer 1

【答案】（1）f(x)为“函数”，证明略；（2）g(x)最小值为2，最大值为3；（3）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】

（1）欲判断f(x)=2x+1 （0≤x≤1）是不是“函数”，即看它是否满足：x∈[0，1]，f(x)≥2；f(1)=3；对定义域内的，若满足，恒有，一一验证即可；（2）先利用定义法研究函数g(x)的单调性，从而可求此函数的最值；（3）①题中条件：，令，得，利用它进行放缩，可证得答案；②因为由题意可得：对x∈(0，1]，总存在n∈N，满足，结合由（1）和①得，又，从而可证得结论.

（1）显然f(x)=2x+1(0x1)满足：x∈[0，1]，f(x)2， f(1)=3；

若x10，x20，x1+x21，

则，

即成立，故为“函数”；

（2）设x1，x2∈[0，1]，x1<x2，则x2x1∈(0，1]

，

∴g(x2)g(x1)g(x2x1)20，

∴g(x1)g(x2)，则当0x1时，g(x)单调递增，即g(0)g(x)g(1)，

在中，令x1=x2=0，得(0)2，

由，得g(0)2，∴g(0)=2，当x=1时，g(1)=3，

∴当x=0时，g(x)取得最小值2，

当x=1时，g(x)取得最大值3；

（3）①依题意，，

令，得，

，

则；

②对x∈(0，1]，总存在n∈N，满足，

由（1）和①得，又，

∴h(x)<2x+2，

综上所述，对一切x∈(0，1]，都有h(x)<2x+2.