Question

9．已知在等差数列{a_n}中，a₄=7，a₂+a₇=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=${2}^{{a}_{n}}$+n，求数列{b_n}的前n项和T_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式，建立方程关系进行求解即可．
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用分组求和法进行求解．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由a₄=7，a₂+a₇=16
得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=7}\\{{a}_{1}+d+{a}_{1}+6d=16}\end{array}\right.$，得a₁=1，d=2，
则a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=${2}^{{a}_{n}}$+n=2^2n-1+n，
则数列{b_n}的前n项和T_n=（2¹+2³+…+2^2n-1）+（1+2+…+n）=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题主要考查等差数列通项公式的求解，以及数列和的计算，利用分组求和法是解决本题的关键．