Question

【题目】直角坐标系中，曲线与轴负半轴交于点，直线与相切于， 为上任意一点， 为在上的射影， 为的中点．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）轨迹与轴交于，点为曲线上的点，且， ，试探究三角形的面积是否为定值，若为定值，求出该值；若非定值，求其取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，可知， ．……………2分

因为为上动点，代入整理，即可得到点的轨迹方程；

（Ⅱ）由 求，同理，得，再

求则到的距离．即可表示的面积.

试题解析：（Ⅰ）依题意，可知，直线．

设，依题意，可知， ．

因为为上动点，所以，

可得动点的轨迹的方程．

（Ⅱ）依题意，不妨记， ，设的斜率为，因为，所以的斜率也为；同理，设的斜率为，因为，所以的斜率也为．

设，由 得，则①；

同理，由 得，则②．

联立①②，消去可得，不妨设， ．

由 可得，则．

由 可得．

则到的距离．

则三角形的面积

．