Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数．（参考数据： ）

（1）讨论函数的单调性；

（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先求函数导数,根据参数a讨论：当时， 是常数函数，没有单调性．当时，先减后增；当时，先增后减；（2）先化简方程，整体设元转化为一元二次方程： ．其中，再利用导数研究函数的图像，根据图像确定根的取值范围，进而可证不等式.

试题解析：解：（1）因为的定义域为实数，

所以．

①当时， 是常数函数，没有单调性．

②当时，由，得；由，得．

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

③当时，由得， ； 由，得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）因为，

所以，即．

令，则有，即．

设方程的根为，则，

所以是方程的根．

由（1）知在单调递增，在上单调递减．

且当时， ，当时， ，

如图，依据题意，不妨取，所以，

因为，

易知，要证，即证．

所以，又函数在上单调递增，

所以，所以．