Question

17．已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=ca_n+m（c，m为常数）
（1）当c=1，m=1时，求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）当c=2，m=-1时，证明：数列{a_n-1}为等比数列；
（3）在（2）的条件下，记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，S_n=b₁+b₂+…+b_n，证明：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）当c=1，m=1时，数列{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列，由此能求出a_n的表达式．
（2）当c=2，m=-1时，a_n+1=2a_n-1，从而a_n+1-1=2（a_n-1），由此能证明数列{a_n-1}为首项为2，公比为2的等比数列．
（3）推导出a_n=2ⁿ+1，从而b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，由此能证明S_n＜1．

解答 解：（1）当c=1，m=1时，数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+1，
∴数列{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴a_n=3+（n-1）×1=n+2．
证明：（2）当c=2，m=-1时，数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
又a₁-1=3-1=2，
∴数列{a_n-1}为首项为2，公比为2的等比数列．
（3）∵数列{a_n-1}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴${a}_{n}-1=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$，∴a_n=2ⁿ+1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．
∴S_n＜1．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．