Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}{，^{\;}}x∈[-1，1]\\{（x-2）^2}+1{，^{\;}}^{\;}x∈（{1，4}]\end{array}$．
（1）在给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；
（2）写出f（x）的单调递增区间和最值及取得最值时x的值（不需要证明）；
（3）若方程f（x）-a=0，有三个实数根，求a的取  值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知听函数解析式，结合指数函数和二次函数的图象和性质，可得f（x）的图象；
（2）根据（1）中图象，可得：f（x）的单调递增区间和最值及取得最值时x的值；
（3）若方程f（x）-a=0，有三个实数根，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}{，^{\;}}x∈[-1，1]\\{（x-2）^2}+1{，^{\;}}^{\;}x∈（{1，4}]\end{array}$的图象与y=a有三个交点，进而可得a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}{，^{\;}}x∈[-1，1]\\{（x-2）^2}+1{，^{\;}}^{\;}x∈（{1，4}]\end{array}$的图象如图所示：
（2）由图可得：
f（x）的单调递增区间为：（-1，1）和（2，4]，
当x=-1，${y_{min}}=\frac{1}{2}$；当x=4，y_max=5
（3）若方程f（x）-a=0，有三个实数根，
则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}{，^{\;}}x∈[-1，1]\\{（x-2）^2}+1{，^{\;}}^{\;}x∈（{1，4}]\end{array}$的图象与y=a有三个交点，
则a∈（1，2）

点评 本题考查的知识点是函数的图象，分段函数的应用，数形结合思想，函数的单调性，函数的最值，难度中档．