Question

已知F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为

1

2

，点B在x轴上，AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线x+

3

y+3=0相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为椭圆的中心，过F点作直线交椭圆于M、N两点，在椭圆上是否存在点T，使得

OM

+

ON

+

OT

=

0

，如果存在，则求点T的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率为

1

2

，可得A，F的坐标，从而可求AF的斜率，进而可得AB的斜率与方程，由此可得圆心坐标与半径，利用A、B、F三点确定的圆C恰好与直线x+

3

y+3=0相切，即可求得椭圆方程；
（2）分类讨论，将直线方程代入椭圆方程，利用向量知识及韦达定理，即可求得结论．

解答：解：（1）∵e=

1

2

，∴c=

1

2

a，b=

3

2

a
∴F(-

1

2

a，0)
取A（0，

3

2

a），∴kAF=

3 2 a-0

0-(- 1 2 a)

=

3

∵AB⊥AF，∴kAB=-

3

3

，∴lAB：y=-

3

3

x+

3

2

a
令y=0，∴x=

3

2

a，∴B(

3

2

a，0)
∴圆心(

1

2

a，0)，半径r=a
∵A、B、F三点确定的圆C恰好与直线x+

3

y+3=0相切
∴圆心到直线x+

3

y+3=0的距离d=

1 2 a+3

2

=a，∴a=2，∴b=

3

∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（7分）
（2）当MN的斜率存在时，设直线MN：ny=x+1，联立

ny=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，（3n²+4）y²-6ny-9=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（x₀，y₀），y1+y2=

6n

3n2+4

，y1y2=-

9

3n2+4

∵

.

O

M

+

.

O

N

+

.

O

T

=

0

，

∴ y0=-y1-y2 x0=-x1-x2

∴

64

4(3n2+4)2

+

36n2

3(3n2+4)2

=1，解得，n=0．…（12分）
即MN的斜率存在时，T（2，0）．
当MN的斜率为0时，T不存在． …（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理的运用，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量知识，建立方程．