Question

已知F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为

1

2

，点B在x轴上，AB⊥AF，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线x+

3

y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，P为线段MN的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，若

OM

+

ON

=

OQ

，若存在求k的值，若不存在则说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定出F，A的坐标，进而确定点B的坐标，从而可确定A，B，F三点确定的圆的圆心坐标与半径，利用圆与直线相切，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）假设存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆的方程

x2

4

+

y2

3

=1，根据P为线段MN的中点，确定P的坐标，进而可得Q的坐标，代入椭圆方程，即可判断k不存在．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为

1

2

，∴c=

1

2

a，b=

3

2

a，∴F(-

1

2

a，0)，A(0，

3

2

a)
∴kAF=

3 2 a-0

0-(- 1 2 a)

=

3

，
∵AB⊥AF，∴kAB=-

3

3

∴AB的方程为：y=-

3

3

x+

3

2

a
令y=0，∴x=

3

2

a，∴B(

3

2

a，0)
∴A，B，F三点确定的圆的圆心坐标为(

1

2

a，0)，半径为r=a
∴圆心到直线x+

3

y+3=0的距离为d=

| 1 2 a+3|

2

，
∵A，B，F三点确定的圆C恰好与直线x+

3

y+3=0相切．
∴d=

| 1 2 a+3|

2

=a
∴a=2，∴b=

3

∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）假设存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆的方程

x2

4

+

y2

3

=1，消去y可得
（3+4k²）x²+8k²x+（4k²-12）=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），则x1+x2=-

8k2

3+4k2

，
∵P为线段MN的中点，∴xP=

x1+x2

2

= -

4k2

3+4k2

∴yP=k(xP+1)=

3k

3+4k2

∵

OM

+

ON

=

OQ

，∴

OQ

=2

OQ

∴

x0=2xP= - 8k2 3+4k2 y0=2yP= 6k 3+4k2

∵射线OP交椭圆于点Q
∴

x02

4

+

y02

3

=1
∴3(-

8k2

3+4k2

)2+4( 

6k

3+4k2

)2=12
∴64k⁴+48k²=4（16k⁴+24k²+9）
∴48k²=96k²+36
∴-48k²=36
此方程无解，∴k不存在．

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查代入法的运用，解题的关键是确立动点坐标之间的关系，有综合性．