题目内容
（2012•上饶一模）已知F是椭圆
+
=1(a＞b＞0)的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为
，点B在x轴上，AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线x+
y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为椭圆的中心，是否存在过F点，斜率为k（k∈R，l≠0）且交椭圆于M、N两点的直线，当从O点引出射线经过MN的中点P，交椭圆于点Q时，有
+
=
成立．如果存在，则求k的值；如果不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为椭圆的中心，是否存在过F点，斜率为k（k∈R，l≠0）且交椭圆于M、N两点的直线，当从O点引出射线经过MN的中点P，交椭圆于点Q时，有
| OM |
| ON |
| OQ |
分析：（Ⅰ）求出直线AB的方程，从而确定圆心与半径r=a，利用圆C恰好与直线x+
y+3=0相切，建立方程，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）假设k存在，将直线方程代入椭圆方程，求出P的坐标，利用
+
=2
且
+
=
，可得Q的坐标，代入椭圆方程，即可求得结论．
| 3 |
（Ⅱ）假设k存在，将直线方程代入椭圆方程，求出P的坐标，利用
| OM |
| ON |
| OP |
| OM |
| ON |
| OQ |
解答：解：（Ⅰ）设A为椭圆的上顶点，则∵e=
，∴c=
a，∴b=
a
∴F(-
a，0)，A(0，
a)
∴kAF=
=
，∴kAB=-
∴lAB：y=-
x+
a
令y=0，∴x=
a，∴B(
a，0)
∴圆心为(
a，0)，半径r=a
∴圆心到直线x+
y+3=0的距离d=
=a
∴a=2，∴b=
，∴椭圆方程为
+
=1…（6分）
（Ⅱ）假设k存在，设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0）
由
，消去y可得：（3+4k2）x2+8k2x+（4k2-12）=0…（8分）
∴x1+x2=-
，∴xP=
=-
，yP=k(xp+1)=
又∵
+
=2
且
+
=
∴
=2
，∴
…（11分）
又∵
+
=1，∴3(-
)2+4(
)2=12
∴3×64k4+4×36k2=12（4k2+3）2
∴16k4+12k2=16k4+24k2+9
∴12k2+9=0，∴k无实数解，
∴不存在…（14分）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴F(-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴kAF=
| ||||
0-(-
|
| 3 |
| ||
| 3 |
∴lAB：y=-
| ||
| 3 |
| ||
| 2 |
令y=0，∴x=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴圆心为(
| 1 |
| 2 |
∴圆心到直线x+
| 3 |
| ||
| 2 |
∴a=2，∴b=
| 3 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）假设k存在，设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0）
由
|
∴x1+x2=-
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 4k2 |
| 3+4k2 |
| 3k |
| 3+4k2 |
又∵
| OM |
| ON |
| OP |
| OM |
| ON |
| OQ |
∴
| OQ |
| OP |
|
又∵
| ||
| 4 |
| ||
| 3 |
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 6k |
| 3+4k2 |
∴3×64k4+4×36k2=12（4k2+3）2
∴16k4+12k2=16k4+24k2+9
∴12k2+9=0，∴k无实数解，
∴不存在…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，确定点的坐标是关键．
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