Question

已知函数 f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）在定义域内为奇函数．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）求函数f（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，即可求得a，进而得到函数式；
（2）运用单调性的定义证明，注意作差和变形、定符号和下结论；
（3）由于函数f（x）在R上递增，则f（x）在[1，2]上递增，求出最小和最大值，即可得到值域．

解答： （1）解：函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，
即有a-

2

20+1

=0，解得，a=1，则f（x）=1-

2

2x+1

；
（2）证明：设m＜n，则f（m）-f（n）=1-

2

2m+1

-（1-

2

2n+1

）
=

2(2m-2n)

(1+2m)(1+2n)

，
由于m＜n，则2^m＜2ⁿ，即2^m-2ⁿ＜0，2^m＞0，2ⁿ＞0，
则f（m）-f（n）＜0，即有函数f（x）在R上递增；
（3）解：由于函数f（x）在R上递增，
则f（x）在[1，2]上递增，即f（1）最小且为1-

2

3

=

1

3

，
f（2）最大且为1-

2

5

=

3

5

，
则值域为[

1

3

，

3

5

]．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，以及运用：求值域，考查运算能力，属于中档题．