Question

（本小题共14分）

已知椭圆C：，左焦点，且离心率

(Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.   求证：直线过定点,并求出定点的坐标.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 直线过定点，且定点的坐标为 

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）由题意可知：   ……1分

解得                  ………2分

所以椭圆的方程为：                         ……3分

（II）证明：由方程组   …4分

整理得                         ………..5分

设

则             …….6分

由已知，且椭圆的右顶点为         ………7分

                  ………    8分   

即

也即  …… 10分

整理得：                       ……11分

解得均满足                       ……12分

当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分

当时，直线的方程为,过定点    

故直线过定点，且定点的坐标为                          …….14分

考点：直线与椭圆的位置关系

点评：解决的关键是熟练的根据椭圆的性质来得到椭圆的方程，同时能结合联立方程组的思想来，韦达定理和垂直关系，得到直线方程，进而求解。属于基础题。