Question

15．已知α，β为锐角，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，则α+2β=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由题意和同角三角函数基本关系可得cosα和cosβ，进而由二倍角公式可得sin2β和cos2β，可得cos（α+2β）的值，缩小角的范围可得．

解答 解：∵α，β为锐角，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=$\frac{3}{5}$，cos2β=cos²β-sin²β=$\frac{4}{5}$，
∴cos（α+2β）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{3}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
又sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$＜$\frac{1}{2}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜$\frac{1}{2}$，
∴0＜α＜$\frac{π}{6}$且0＜β＜$\frac{π}{6}$，
∴0＜α+2β＜$\frac{π}{2}$，∴α+2β=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及知值求角问题和二倍角公式，缩小角的范围是解决问题的关键，属中档题．