Question

6．如图正方体中，E、F、G分别是AA₁、CC₁、BB₁的中点 （1）求证：B、E、D₁、F四点共面（2）求证：面A₁C₁G∥面BED₁F．

Answer 1

分析 （1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由向量法得到$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{F{D}_{1}}$，由此能证明B、E、D₁、F四点共面．
（2）由已知得BF∥GC₁，BE∥A₁G，由此能证明面A₁C₁G∥面BED₁F．

解答 证明：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设棱长为2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得B（2，2，0），E（2，0，1），F（0，2，1），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{BE}$=（0，-2，1），$\overrightarrow{F{D}_{1}}$=（0，-2，1），
∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{F{D}_{1}}$，
∵BE∥FD₁，
∴B、E、D₁、F四点共面．
（2）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是AA₁、CC₁、BB₁的中点，
∴BF∥GC₁，BE∥A₁G，
∵BE∩BF=B，A₁G∩GC₁=G，
FB?面BED₁F，BF?面BED₁F，A₁G?面A₁C₁G，GC₁?面A₁C₁G，
∴面A₁C₁G∥面BED₁F．

点评 本题考查四点共面的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．