题目内容

设 $数学公式$
（1）求 $数学公式$ 的最大值及相应x的值；
（2）当 $数学公式$ • $数学公式$ 时，求cosx的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2
由此可得 $\text{[math]}$ ≤2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =4，
当且仅当2 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线且反向时，即 $\text{[math]}$ 时，等号成立
解之得：x= $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z
综上所述，当x= $\text{[math]}$ +2kπ（k∈Z）时， $\text{[math]}$ 的最大值为4
（2） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cosx-sinx=- $\text{[math]}$
∴2sin（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，得sin（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，得x- $\text{[math]}$ ∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∴cos（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由此可得cosx=cos[（x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）根据向量模的公式，得出 $\text{[math]}$ =1且 $\text{[math]}$ =2，再由向量的三角形不等式得 $\text{[math]}$ ≤2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由此不难得到 $\text{[math]}$ 的最大值及相应x的值；
（2）根据向量数量积的运算公式，解出sin（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．再利用配角：x=（x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，并结合两角和的余弦公式即可算出cosx的值．
点评：本题以平面向量数量积的运算为载体，着重考查了三角恒等变形、向量的模及其运算性质等知识，属于中档题．