Question

7．已知{a_n}是递增的等差数列，a₁、a₅是关于x方程x²-6x+5=0的两个根．
（1）求通项公式a_n；   
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由a₁、a₅是关于x方程x²-6x+5=0的两个根．a₁＜a₅．由方程解得a₁，a₅，利用等差数列的通项公式即可得出．．
（2）$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a₁、a₅是关于x方程x²-6x+5=0的两个根．a₁＜a₅．
由方程解得a₁=1，a₅=5，
∴5=1+4d，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）∵$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
${S_n}=\frac{n}{n+1}$

点评 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．