Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱AB，BB₁的中点，A₁E与C₁F所成的角的余弦值是

2

5

．

Answer 1

分析：先建立空间直角坐标系以D为坐标原点，DC为x轴，DA为y轴，DD₁为z轴，规定棱长为1，再求出A₁E与C₁F直线所在的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求出夹角的余弦值即可．

解答：解：以DC为x轴，DA为y轴，DD₁为z轴；建立空间直角坐标系以D为坐标原点，棱长为1．
∴A（0，1，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），C₁（1，0，1）．
A₁（0，1，1）
∴E（

1

2

，1，0），F（1，1，

1

2

）
可得

.

A1E

=（

1

2

，0，-1），

C1F

=（0，1，-

1

2

）
∴

A1E

•

C1F

=

1

2

；
|

A1E

|=

( 1 2 )2+(-1) 2

=

5

2

，|

C1F

|=

12+(- 1 2 ) 2

=

5

2

．
则cosθ=

A1E • C1F

| A1E| •| C1F |

=

2

5

．
故答案为：

2

5

．

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，以及空间向量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．