Question

已知n∈N^*，函数f (x)=x³-nx²+(2ⁿ+1)，x∈R．

   （I）当n=1时，求f(x)的单调区间；

   （II）设函数f(x)在[-1，1]上的最大值为a_n，记b_n=，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n<．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，f(x)=x³-x²+3.

所以=3x²-2x=3x(x -)

由>0,得x<0,或x>.

由<0,得x<O，0<x<

所以f(x)的单调递增区间是(一∞，0)和(,+∞),单调递减区间是(0,). 5分

   （II）因为=3x(x -),且≥

所以当x在R上变化时，与f(x)的变化情况如下表：

而f(0)=2ⁿ+1, f(1)=2ⁿ+2-n,

又n≥1，所以f(0)≥f(1)．

当x∈[-1，1]时，f(x)_max= f(0)=2ⁿ+1，即a_n=2ⁿ+1．

所以b_n=

      =

             =.

所以T_n=++…+

      =-<