Question

已知n∈N⁺，函数f（x）=

an(x=1) x-1 xn-1 (x≠1)

是定义在（0，+∞）的连续函数．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：

n

k-1

a

3 k

＜

19

24

．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=

an(x=1) x-1 xn-1 (x≠1)

是定义在（0，+∞）的连续函数，求极限可得数列{a_n}的通项公式；
（2）先证明n=1、2时，结论成立；再证明n≥3时，结论成立，利用放缩法即可证得．

解答：（1）解：∵函数f（x）=

an(x=1) x-1 xn-1 (x≠1)

是定义在（0，+∞）的连续函数．
∴a_n=

lim

x→1

x-1

xn-1

=

lim

x→1

1

nxn-1

=

1

n

（2）证明：当n=1时，1＜

29

24

 成立；
当n=2时，1+

1

8

=

9

8

＜

29

24

成立；
当n≥3时，

n

k=1

an3=

n

k=1

1

n3

＜1+

1

8

+

n

k=1

1

2

(

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

)=

9

8

+

1

2

(

1

2×3

-

1

n(n+1)

)=

29

24

-

1

2n(n+1)

＜

49

24

，
所以当n∈N^*时原不等式成立．

点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，正确放缩，属于中档题．