Question

已知n∈R，函数，f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围；
（3）函数f（x）是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间；
（2）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，即-x²+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．
（3）假设f（x）是为R上的单调函数，则为R上的单调递增函数或单调递减函数，意即f′（x）≥0或f′（x）≤0对任意的x∈R都成立．可转化为二次不等式恒成立问题．

解答：解：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（-x²+2x）e^x，f′（x）=-（x²-2）e^x
令f′（x）＞0，得x²-2＜0，∴-

2

＜x＜

2

∴f（x）的单调递增区间是（-

2

，

2

）；
（Ⅱ）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，
即-x²+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，
即a≥x+1-

1

x+1

对x∈（-1，1）恒成立，
令y=x+1-

1

x+1

，则y′=1+

1

(x+1)2

＞0
∴y=x+1-

1

x+1

在（-1，1）上单调递增，∴y＜1+1-

1

1+1

=

3

2

∴a≥

3

2

当a=

3

2

时，当且仅当x=0时，f′（x）=0
∴a的取值范围是[

3

2

，+∞）．
（3）假设f（x）是为R上的单调函数，则为R上的单调递增函数或单调递减函数
①若f（x）是R上的单调递减函数，则f′（x）≤0对任意的x∈R都成立，
即[-x²+（a-2）x+a]e^x_≤0对任意的x∈R都成立，
因为e^x＞0，所以-x²+（a-2）x+a≤0恒成立，
故由△=（a-2）2+4a≤0，
整理得a2+4≤0，显然不成立，
即f（x）不可能为R上的单调递减函数．
②若f（x）是R上的单调递增函数，则f′（x）≥0对任意的x∈R都成立，
即[-x²+（a-2）x+a]e^x_≥0对任意的x∈R都成立，
因为e^x＞0，所以-x²+（a-2）x+a≥0恒成立，
而函数h（x）=-x²+（a-2）x+a的图象是开口向下的抛物线，
所以-x²+（a-2）x+a≥0是不能恒成立的，
所以f（x）不可能为R上的单调递增函数．
综上所述，f（x）是不可能为R上的单调函数．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．