Question

已知数列{a_n}满足：a4=

7

4

，点(an，an+1) (n∈N*)在直线y=x+

1

2

上，数列{b_n}满足：b1=-

119

4

且bn=

1

3

bn-1+

1

3

n(n≥2，n∈N*)．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（III）求{b_n}的通项公式；并探求数列{b_n}的前n和的最小值．

Answer 1

分析：（I）由点(an，an+1) (n∈N*)在直线y=x+

1

2

上，得到an+1=an+

1

2

，所以，{a_n}为公差为

1

2

的等差数列，由此能求出{a_n}的通项公式．
（II）由b_n-a_n=bn-

2n-1

4

，知

bn-an

bn-1-an-1

=

bn- 2n-1 4

bn-1- 2n-3 4

=

1

3

．且b₁-a₁=-30，由此能够证明数列{b_n-a_n}是以-30为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（III）由（II）知，bn-an=-30•(

1

3

)n-1，所以，bn=an-30•(

1

3

)n-1=

n

2

-

1

4

-30•(

1

3

)n-1，采用分组求和法，可以求数列{b_n}的前n和Tn=

n2

4

+45•(

1

3

)n-45，故T₃=-

493

12

最小．

解答：（I）解：点(an，an+1) (n∈N*)在直线y=x+

1

2

上，
得到an+1=an+

1

2

（1分）
所以，{a_n}为公差为

1

2

的等差数列，（2分）
所以，an=a4+(n-4)d=

7

4

+(n-4)•

1

2

=

2n-1

4

（3分）
（II）证明：∵b_n-a_n=bn-

2n-1

4

，
∴

bn-an

bn-1-an-1

=

bn- 2n-1 4

bn-1- 2n-3 4

=

bn-1 3 + n 3 - 2n-1 4

bn-1- 2n-3 4

=

bn-1 3 - 2n-3 12

bn-1- 2n-3 4

=

1

3

．
∵b₁-a₁=-30，
∴数列{b_n-a_n}是以-30为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（III）解：由（II）知，bn-an=-30•(

1

3

)n-1 
所以，bn=an-30•(

1

3

)n-1=

n

2

-

1

4

-30•(

1

3

)n-1（8分）
采用分组求和法，可以求数列{b_n}的前n和Tn=

n2

4

+45•(

1

3

)n-45（9分）
Tn+1-Tn=

2n+1

4

-30•(

1

3

)n（10分）
当n=1，2时，Tn+1-Tn=

2n+1

4

-30•(

1

3

)n＜0，
则T_n递减，即T₁＞T₂＞T₃，
当n≥3时，Tn+1-Tn=

2n+1

4

-30•(

1

3

)n＞0，
则T_n递增，即T₃＜T₄＜T₅＜…，
故T₃=-

493

12

最小．

点评：本题考查数列通项公式的求法和等比数列的证明，探求数列{b_n}的前n和的最小值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．