Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC．已知PD=

2

，CD=2，AE=

1

2

，
求
（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
（Ⅱ）二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先寻找异面直线PD与EC的公垂线，由三垂直线定理的逆定理知EC⊥DE，从而DE是异面直线PD与EC的公垂线，最后根据△DAE∽△CED，求出DE，从而求出异面直线PD与EC的距离；
（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH．根据二面角平面角的定义可知∠EHG为二面角的平面角，在直角三角形EHG中求出此角即可得到二面角E-PC-D的大小．

解答：解：（Ⅰ）因PD⊥底面AD，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，
且DE是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知
EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线．
设DE=x，因△DAE∽△CED，故x：

1

2

=2：x．
从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1．
（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH．因PD⊥底面AD，
故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD．
因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，
由三垂线定理知EH⊥PC．
因此∠EHG为二面角的平面角．
在面PDC中，PD=

2

，CD=2，GC=2-

1

2

=

3

2

，
因△PDC∽△GHC，故GH=PD•

CG

PC

=

3

2

，
又EG=

DE2-DG2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
故在Rt△EHG中，GH=EG，因此∠EHG=

π

4

，
即二面角E-PC-D的大小为

π

4

．

点评：本题主要考查了异面直线的距离的度量，以及二面角的度量，同时考查了推理能力和计算能力，属于中档题．