Question

20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且$\frac{cosC}{cosA}=\frac{2b-c}{a}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数公式及三角形内角和定理化简已知等式可得sinB=2sinBcosA，sinB≠0，解得：$cosA=\frac{1}{2}$，又结合范围A∈（0，π），即可求A的值；
（2）由（1）及正弦定理可解得：$2R=\frac{a}{sinA}=2\sqrt{3}$，从而化简a+b+c=6sin（B+$\frac{π}{6}$）+3，结合B的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\frac{cosC}{cosA}=\frac{2b-c}{a}$，
∴acosC=2bcosA-ccosA，
∴acosC+ccosA=2bcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
∴sin（A+C）=2sinBcosA，sinB≠0，
∴解得：$cosA=\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），
所以A=$\frac{π}{3}$．….5分
（2）∵由（1）及正弦定理可解得：$2R=\frac{a}{sinA}=2\sqrt{3}$，
$\begin{array}{l}∴a+b+c=2\sqrt{3}（sinB+sinC）+3=2\sqrt{3}（sinB+sin（B+\frac{π}{3}））+3\\=2\sqrt{3}（\frac{3}{2}sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB）+3=6（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）+3\\=6sin（B+\frac{π}{6}）+3（B∈（0，\frac{2π}{3}））\end{array}$…10分
所以当$B=\frac{π}{3}$时，周长最大为9．…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形内角和定理，考查了正弦函数的图象和性质，熟练掌握公式及定理是解题的关键，属于中档题．