Question

13．已知函数$f（x）=lnx+\frac{a}{{2{x^2}}}（a＞0）$．
（1）试判断f（x）在定义域内的单调性；
（2）若f（x）在区间[1，e²]上的最小值为2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：由已知得f（x）得的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（x-a）（x+a）}{{x}^{3}}$，
（1）∵a＞0，∴-a＜0，
当x∈（0，a）时，f（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f（x）＞0，
∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；
（2）由（1）得：
①0＜a≤1时，f（x）在在[1，e²]递增，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{2}$=2，得a=2（舍），
②当1＜a＜e²时，f（x）在（1，a）递减，在（a，e²）递增，
∴f（x）_min=f（a）=lna+$\frac{1}{2}$=2，解得：a=${e}^{\frac{3}{2}}$，
③当a≥e²时，f（x）在[1，e²]递减，
∴f（x）_min=f（e²）=2+$\frac{{a}^{2}}{{2e}^{2}}$=2，无解，
综上：a=${e}^{\frac{3}{2}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．