Question

18．设函数f（x）=x-lnx．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{a}{x}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到单调区间；
（Ⅱ）问题转化为a≤x-lnx对任意x＞0恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x-lnx，（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（Ⅱ）不等式$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{a}{x}$恒成立，
即a≤x-lnx对任意x＞0恒成立，
由（Ⅰ）得：f（x）=x-lnx在x=1处取得最小值1，
∴a≤1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．