题目内容
【题目】已知点
是抛物线
上的一点，过点
作两条直线
与
，分别与抛物线相交于异于点的
两点．
若直线
过点
且
的重心
在
轴上，求直线的斜率；
若直线的斜率为1且的垂心
在轴上，求直线的方程．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
设直线AB的方程为
，设A，B两点的坐标分别为
，
，根据重心的性质，以及根与系数，根据斜率公式即可求出;
分类讨论，根据韦达定理和斜率公式即可求出．
设直线AB的方程为，设A，B两点的坐标分别为，
因为
的重心G在x轴上，所以
，
将直线AB代入抛物线
方程可得：
，
所以
，解得：
，
所以直线AB的斜率是．
若直线AB的斜率为1，则直线PH的方程是
，所以
，
若直线AB的斜率为1，则设直线AB的方程为
，
将直线AB代入抛物线方程可得：
，
所以
，
，且
，
因为
，所以
，将
，
代入
得
，
将，代入上面方程可得：
，
由此方程解得：
或
舍
，
所以直线AB的方程是
．
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