题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围；
（2）令
，是否存在实数
，当
（
是自然常数）时，函数
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
（3）当时，证明：
.
【答案】（1）
；（2）存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3；（3）详见解析．
【解析】
试题分析：（1）首先将问题转化为
在[1，2]上恒成立，然后将其转化为二次函数的图像及其性质即可得出所求的结果；（2）首先假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，并求出其导函数，然后对其进行分类讨论：①当a≤0时；②当
时；③当
时，分别利用导数研究函数的单调性并求出其最值即可得出所求的结果；（3）首先令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min，然后令
，并求出其导函数，进而得出其最大值，最后得出不等式成立.
试题解析：（1）在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x2+ax﹣1，有
得
，得.
（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，
（舍去），
②当时，g（x）在
上单调递减，在
上单调递增
∴
，a=e2，满足条件．
③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．令，
，
当0＜x≤e时，'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增∴
∴
，即
．
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