Question

12．在极坐标系中，圆C是以点$C（{2，-\frac{π}{6}}）$为圆心，2为半径的圆．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求圆C被直线$l：θ=\frac{π}{6}$所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）点$C（{2，-\frac{π}{6}}）$化为直角坐标：$（\sqrt{3}，-1）$，可得圆C的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．
（2）把直线$l：θ=\frac{π}{6}$代入圆C的极坐标方程即可得出．

解答 解：（1）点$C（{2，-\frac{π}{6}}）$化为直角坐标：$（\sqrt{3}，-1）$，可得圆C的直角坐标方程：$（x-\sqrt{3}）^{2}$+（y+1）²=4，化为：x²+y²-2$\sqrt{3}$x+2y=0．
∴极坐标方程为：ρ²-2$\sqrt{3}$ρcosθ+2ρsinθ=0，即ρ=2$\sqrt{3}$cosθ-2sinθ．
（2）把直线$l：θ=\frac{π}{6}$代入圆C的极坐标方程可得：ρ=2$\sqrt{3}$cos$\frac{π}{6}$-2sin$\frac{π}{6}$=2．
又圆C经过原点，
∴圆C被直线$l：θ=\frac{π}{6}$所截得的弦长为2．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．