Question

(本小题满分14分)

已知,,其中是自然常数

（Ⅰ）当时, 求的极值；

（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;

（Ⅲ）是否存在，使的最小值是3，若存在求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ），   ……………1分

∴当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增   

∴的极小值为                         ……………4分

（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，

∴ ，                   ……………5分

令，，  ……………6分

当时，，在上单调递增  ……………8分

∴ 

∴在（1）的条件下，           ……………9分

（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，

           

① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.             ……………………11分

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件.  ……………………12分

③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.

综上，存在实数，使得当时有最小3.  ……………     14分