Question

15．对于?x₁$∈（0，\frac{1}{2}]$，?x₂$∈（0，\frac{1}{2}]$，4${\;}^{{x}_{1}}$＜log_ax₂恒成立，则a取值范围是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，2）

Answer 1

分析 先求出4${\;}^{{x}_{1}}$的取值范围，将不等式恒成立转化最值问题进行求解即可．

解答 解：?x₁$∈（0，\frac{1}{2}]$，0＜4${\;}^{{x}_{1}}$≤2，
即4${\;}^{{x}_{1}}$＜log_ax₂恒成立等价为log_ax₂＞2恒成立，
∵x₂$∈（0，\frac{1}{2}]$，
∴0＜a＜1，且log_a$\frac{1}{2}$＞2，
即a²＞$\frac{1}{2}$，
则a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍），
则$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1
故选：A．

点评 本题主要考查不等式恒成立的求解，结合指数函数和对数函数的性质将不等式转化求函数的最值问题是解决本题的关键．