Question

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁
（I）求这个几何体的体积；
（Ⅱ）D在AC上运动，问：当D在何处时，有AB₁∥平面BDC₁，请说明理由；
（III）求二面角B₁-AC₁-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中平面ABC⊥平面BCC₁B₁，我们易得五面体A-BCC₁B₁（四棱锥）的底面为BCC₁B₁，高是正三角形ABC的高，分别求出棱锥的底面面积和高，代入即可得到这个几何体的体积；
（Ⅱ）当D为AC中点时，连接B₁C交BC₁于O，连接DO，易根据三角形的中位线定理，证得DO∥AB₁，进而根据线面平行的判定定理得到AB₁∥平面BDC₁．
（III）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，分别求出平面B₁AC₁与AC₁C的一个法向量的坐标，代入向量夹角公式，即可求出二面角B₁-AC₁-C的余弦值．
解答：解：（I）显然这个五面体是四棱锥A-BCC₁B₁，
因为侧面BCC₁B₁垂直于底面ABC，
所以正三角形ABC的高就是这个四棱锥A-BCC₁B₁的高，
又AB₁=4，AB=2，所以．
于是 
=．…（4分）
（Ⅱ）当D为AC中点时，有AB₁∥平面BDC₁．
证明：连接B₁C交BC₁于O，连接DO，
∵四边形BCC₁B₁是矩形∴O为B₁C中点，
∵AB₁∥平面BDC₁，且AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁
∴DO∥AB₁，∴D为AC的中点．…（8分）
（III）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，
则，C（0，2，0），，，
所以，，，，
设为平面B₁AC₁的法向量，
则有，令z=1，可得平面B₁AC₁的一个法向量为，
设为平面ACC₁的法向量，则有，
令x=-1，可得平面ACC₁的法向量，
=，
所以二面角B₁-AC₁-C的余弦值为…（12分）
注：本题也可以不建立坐标系，解法从略，请按三小题分值给分
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是判断出五面体A-BCC₁B₁的底面及高，（II）的关键是证得DO∥AB₁，（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．