Question

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4，底面ABC是正三角形，AB=2，四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角，D为AC的中点．
（1）证明：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角C-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接B₁C交BC₁于O，连接DO，由三角形的中位线性质可得  DO∥AB₁ ，从而证明AB₁∥平面BDC₁ ．
（2）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，分别求出平面CBC₁与BC₁D的一个法向量的坐标，代入向量夹角公式，即可求出二面角C-BC₁-D的余弦值．

解答：解：（1）证明：连接B₁C交BC₁于O，连接DO，
∵四边形BCC₁B₁是矩形，
∴O为B₁C中点又D为AC中点，从而DO∥AB₁ ．
∵AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁ ．
•
（2）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，
则 A(

3

，1，0)，C（0，2，0），C1(0，2，2

3

)，B（0，0，0），D(

3

2

，

3

2

，0)
所以

BD

=(

3

2

，

3

2

，0)， 

BC1

=(0，2，2

3

)
设

n1

=(x，y，z)为平面BDC₁的法向量，
则有

BD • n1 = 3 2 x+ 3 2 y=0 BC1 • n1 =2y+2 3 z=0

∴可得平面BDC₁的一个法向量为

n1

=(3，-

3

，1)，
而平面BCC₁的法向量为

n2

=(1，0，0)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

3 13

13

，
所以二面角C-BC₁-D的余弦值

3 13

13

，

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得DO∥AB₁，（2）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．