题目内容
1．已知数列{an}的前n项和Sn=-an-${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$+2（n∈N*）．数列{bn}满足bn=2nan．（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设cn=log2$\frac{n}{{a}_{n}}$，数列{$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$}的前n项和为Tn．若不等式λ≤Tn对任愈的n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
分析 （1）由数列{an}的前n项和Sn=-an-${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$+2（n∈N*）．可得：a1=S1=-a1-1+2，解得a1．当n≥2时，an=Sn-Sn-1，化为：an=$\frac{1}{2}{a}_{{n}_{-1}}$+$（\frac{1}{2}）^{n}$．只要证明：bn+1-bn=常数即可．
（2）cn=log2$\frac{n}{{a}_{n}}$=n，可得：$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．
解答 （1）证明：∵数列{an}的前n项和Sn=-an-${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$+2（n∈N*）．
∴a1=S1=-a1-1+2，解得a1=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-an-${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$+2-$[-{a}_{n-1}-（\frac{1}{2}）^{n-2}+2]$，
化为：an=$\frac{1}{2}{a}_{{n}_{-1}}$+$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴bn+1-bn=2n+1an+1-2nan=${2}^{n+1}[\frac{1}{2}{a}_{n}+（\frac{1}{2}）^{n+1}]$-2nan=1，
∴数列{bn}是等差数列，首项b1=2a1=1，公差为1．
∴bn=1+（n-1）=n．
∴an=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
（2）解：cn=log2$\frac{n}{{a}_{n}}$=n，
∴$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$}的前n项和为Tn=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
不等式λ≤Tn化为：λ≤1-$\frac{1}{n+1}$，
∵不等式λ≤Tn对任意的n∈N*恒成立，
∴$λ≤\frac{1}{2}$．
∴实数λ的最大值是$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性与不等式的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
阅读快车系列答案①若α∩β=a，b?α，a⊥b，则α⊥β；
②若a?α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b；
④若a不垂直平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；
⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β．
上述五个命题中，正确命题的序号是（ ）
| A． | ①②③ | B． | ②④⑤ | C． | ④⑤ | D． | ②⑤ |
| A． | $\frac{x^2}{3}-\frac{{4{y^2}}}{3}=1$ | B． | $\frac{{4{x^2}}}{3}-\frac{y^2}{3}=1$ | ||
| C． | $\frac{{4{x^2}}}{3}-\frac{y^2}{3}=1$或$\frac{x^2}{3}-\frac{{4{y^2}}}{3}=1$ | D． | $\frac{{4{y^2}}}{3}-\frac{x^2}{3}=1$ |
| A． | 函数f（x）在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上单调递增 | B． | 函数f（x）的值域是[-1，1] | ||
| C． | ?x0∈R，f（-x0）≠-f（x0） | D． | ?x∈R，f（-x）≠f（x） |