Question

已知函数，其中.
（Ⅰ）当=1时，求在（1，）的切线方程
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ） 的取值范围为（-∞，0].

试题分析：（Ⅰ）当=1时，，∴=，=，∴在（1，）的切线斜率=，∴在（1，）的切线方程为；（Ⅱ） 当时，≥0，则在[0，+∞）上是增函数，∴当时，≥=0，适合；分当时，≤0，则≤0，则在[0，+∞）上是减函数，∴当时，≤=0，不适合；当＞时，1＞＞0，则，当∈[0, ]时，≥0，当∈[,+∞）时，≤0，∴在[0, ]是增函数，在[,+∞）是减函数，当＞时，＜0，故不适合，∴的取值范围为（-∞，0].
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，切线斜率，等于函数在切点的导函数值。（2）涉及时，成立，通过研究函数的单调性，明确了函数值取到最小值的情况，确定得到a的范围。