Question

20．数列{a_n}满足$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+2，其前n项和S_n，
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求S_n．

Answer 1

分析 （1）通过$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+2与$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n+1作差可知a_n=2ⁿ（n≥2），进而可得结论；
（2）通过（1）可知，当n≥2时S_n=2+2ⁿ⁺¹，进而验证当n=1时是否成立即可．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+2，
∴当n≥2时，$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n+1，
两式相减得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，即a_n=2ⁿ（n≥2），
又∵$\frac{{a}_{1}}{2}$=3，a₁=6不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，}&{n=1}\\{{2}^{n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，当n≥2时，S_n=4+（2+2²+…+2ⁿ）=4+2•$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2+2ⁿ⁺¹，
又∵S₁=a₁=6满足上式，
∴S_n=2+2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．