Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+{2}^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+m•{2}^{mx}，x＜0}\end{array}\right.$是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求方程f（x）=0的实数根．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质f（-1）=-f（1），求得m；
（2）当x＞0时，令-x²+2^x=0，得到x=2，利用函数为奇函数，求出-2的函数值为0，从而得到函数的零点．

解答 解：（1）因为函数为奇函数，且定义域为R，所以f（-1）=-f（1），即1+m•2^-m=-（-1+2¹），解得m=-1；
（2）由（1）得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+{2}^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}-{2}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，当x＞0时，令-x²+2^x=0，得到x=2，又函数为奇函数所以x＜0时，x=-2，使得f（-2）=0，
所以方程f（x）=0的实数根为2，0和-2；

点评 本题考查了函数的奇偶性的性质运用；关键是利用函数为奇函数的性质解题．