题目内容
设函数f（x）=aex+
+b（a＞0），求f（x）在[0，+∞）内的最小值．
| 1 |
| aex |
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：当0＜a≤1时，由基本不等式可得，当a＞1时则需由函数的单调性解答．
解答：
解：由题意可得f（x）=aex+
+b≥2
+b=2+b，
当且仅当aex=
，即x=-lna时取等号，
∵x∈[0，+∞），∴0＜a≤1，
此时f（x）在[0，+∞）内的最小值为2+b，
但当a＞1时，上面的等号取不到，
故设ex=t，则t≥1，可得y=at+
+b，
求导数可得此时y′＞0，函数单调递增，
∴当t=1即x=0时，函数取最小值a+
+b
| 1 |
| aex |
aex•
|
当且仅当aex=
| 1 |
| aex |
∵x∈[0，+∞），∴0＜a≤1，
此时f（x）在[0，+∞）内的最小值为2+b，
但当a＞1时，上面的等号取不到，
故设ex=t，则t≥1，可得y=at+
| 1 |
| at |
求导数可得此时y′＞0，函数单调递增，
∴当t=1即x=0时，函数取最小值a+
| 1 |
| a |
点评：本题考查基本不等式，涉及分类讨论的思想，注意基本不等式成立的条件是解决问题的关键，属中档题．
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